LLM 通用认知能力题集

题目描述

干支纪年由「天干(10) + 地支(12)」组成,60 年一甲子。已知 2024 年是甲辰年。补充规则:

• 农历年的干支以正月初一为分界(春节当日及之后属新年干支,春节前属上一年干支)。
• 公元前 1 年的下一年是公元 1 年(无公元 0 年);公元前纪年同样使用干支推算,60 年一甲子向后回溯。
• 古代「时辰」以子时(23:00–01:00)为日界,子时初(23:00–00:00)属当日子时,子时正(00:00–01:00)属次日子时(部分流派归属方式不同,本题按「子时正归属次日」)。

输出要求

回答以下 5 个问题(每题 1 分,共 5 分):

1. 公元前 551 年(孔子诞生年,传统记为庚戌年)按 60 甲子回溯推算,干支是否为庚戌?给出推导。
2. 2026 年农历正月初一(2026-02-17)前一天(即 2026-02-16,腊月廿九或三十)的干支年是什么?
3. 1949 年 10 月 1 日(中华人民共和国成立日)当日的干支年是什么?(注:1949 年春节为 1 月 29 日)
4. 若某年正月初一为丙寅日,问该年正月初一前一日的干支日是什么?
5. 给定 2024 年 2 月 10 日(2024 甲辰年正月初一)为甲辰年甲子日,问 2024 年 2 月 10 日 23:30 与 2024 年 2 月 11 日 00:30 各属于哪个时辰?各属于哪个干支日?

题目描述

5 个独立小问题(每题 1 分):

1. 求 7^2026 mod 13 的值。
2. 求正整数解 (x, y) 满足 3x + 7y = 100 的所有解中,使 xy 最大的 (x, y)。
3. 求 x⁴ ≡ 1 (mod 35) 在 0 ≤ x < 35 内的解的个数。
4. 求 (n!) 中素因子 5 的指数,取 n = 2026(即 2026! 末尾有多少个 0)。
5. 判断 3 是否为模 7 的原根,并求模 7 的所有原根。

题目描述

5 个独立小问题(每题 1 分):

1. 求矩阵 A = [[2, 1], [1, 2]] 的特征值与特征向量。
2. 矩阵 A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]] 的行列式是多少?
3. 设 A 为 3×3 矩阵,det(A) = 2,求 det(2A) 与 det(A⁻¹)。
4. 求解矩阵方程 AX = B,其中 A = [[1, 2], [3, 4]],B = [[5, 6], [7, 8]],给出 X。
5. 给定向量 v = (1, 2, 3),求其在平面 x + y + z = 0 上的投影向量。

题目描述

3 堆石子,初始 (7, 5, 3)。甲、乙轮流操作(甲先),每步可从任一堆中取走 1~3 颗(必须取完至少 1 颗)。取走最后一颗的玩家胜(正常玩法,非 Misère)。

输出要求

回答 5 个问题(每题 1 分,共 5 分):

1. 在正常 Nim 玩法(每堆可取任意正数)下,初始 (7, 5, 3) 是 N 位(先手必胜)还是 P 位(后手必胜)?给出 Nim 和。
2. 在本题限制(每堆至多取 3)下,初始 (7, 5, 3) 是 N 位还是 P 位?
3. 若先手甲第一步从 7 堆中取 2,剩 (5, 5, 3),乙的最优响应是什么?
4. 若规则改为「取最后一颗的输」(Misère),且每堆至多取 3,初始 (7, 5, 3) 是 N 位还是 P 位?
5. 给出本题(每堆至多取 3)的 SG 函数通项公式(SG(k) 用 k 表示)。

题目描述

给定初始字符串 S = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"。

按顺序执行以下 8 步:

1. 取 S 中位置为 3 的倍数(3、6、9...)的字符放入集合 A(位置 1-based)。
2. 取 S 中所有辅音字母放入集合 B(辅音 = 非元音 a/e/i/o/u)。
3. 计算 C = A ∩ B,按 ASCII 升序排列。
4. 把 S 中所有元音字母改为大写,得到新串 S'。
5. 计算 D = {S' 中所有大写字母}(即被改大写的元音)。
6. 计算 E = C ∪ D,按 ASCII 升序排列(注意大小写 ASCII 顺序:大写 < 小写)。
7. 计算 F = E − {元音字母的小写形式}(即从 E 中移除 a/e/i/o/u 的小写)。
8. 输出 |A|、|B|、|C|、|D|、|E|、|F| 以及 F 的字符串形式。

输出要求

回答 5 个子问题(每题 1 分,共 5 分):

1. 集合 A 与集合 B 各有几个元素?
2. 集合 C 的内容是什么?
3. 集合 D 的内容是什么?
4. 集合 F 的内容是什么?
5. |E| 与 |F| 的差是多少?

题目描述

给定一个虚拟的「状态机指令序列」,请按规则逐步执行并输出每步后的状态。初始状态:counter = 0, mode = "A", stack = []。

指令(共 10 条,按顺序执行):

1. PUSH 3
2. PUSH 5
3. ADD          ; 弹出栈顶 2 个,相加后压回;counter += 1
4. IF mode == "A" THEN mode = "B" ELSE mode = "A"
5. PUSH counter
6. DUP          ; 复制栈顶并压入
7. IF stack.size >= 3 THEN ADD ELSE NOP
8. IF mode == "B" THEN mode = "C" ELSE mode = "B"
9. SWAP         ; 交换栈顶 2 个(若栈 < 2 则 NOP)
10. POP         ; 弹出栈顶(若栈空则 NOP)

定义:

• PUSH x:把 x 压入栈。
• ADD:弹出栈顶 a、b(栈顶为 a,次顶为 b),压入 b + a;counter += 1。
• DUP:复制栈顶压入。
• SWAP:交换栈顶 2 个。
• POP:弹出栈顶。
• NOP:无操作。
• IF 条件 THEN 动作1 ELSE 动作2:按条件执行其中一个动作。

输出要求

回答 5 个子问题(每题 1 分,共 5 分):

1. 执行完第 3 条后,栈、counter、mode 各是什么?
2. 执行完第 7 条后,栈顶元素是什么?栈大小是多少?
3. 执行完第 8 条后,mode 是什么?
4. 执行完第 10 条后,栈的内容是什么(从底到顶)?
5. 整个序列执行完后,counter 的最终值是多少?